Wir kürzen gerne unsere Wege ab, besonders, wenn wir es eilig haben. Und so entstehen Trampelpfade auf der Wiese.
Aber ist der Trampelpfad wirklich eine Abkürzung? Und ist er immer der kürzeste Weg?
Schauen wir uns einmal folgende Abbildungen an. Da haben wir verschiedene Abkürzungen als Dreiecke visualisiert. Unterteilt sind sie nach dem Winkel, in dem der gepflasterte Weg abbiegt.
Dabei nehmen wir an, dass die Seiten a und b jedes Dreiecks auf einem gepflasterten Weg liegen. Die Seite c ist der Trampelpfad, also unsere Abkürzung.
Abb. 1:
Abkürzung als spitzwinkliges Dreieck
Abb. 2:
Abkürzung als rechtwinkliges Dreieck
Abb. 3:
Abkürzung als stumpfwinkliges Dreieck
Wie können wir nun mathematisch vorgehen um nachzuweisen, dass die Seite c kürzer ist als die Summe der beiden anderen Seiten?
1. Messen
Das ist zwar etwas aufwendig, aber machbar. Wir messen die Seite a und b, addieren die Messwerte und vergleichen das Ergebnis mit der Länge von Seite c. Hier taucht aber ein Problem auf, dass uns bei Beweisen in der Mathematik häufiger begegnet: Wir haben dann nachgewiesen, dass für dieses eine spezielle Dreieck die Seite c kürzer ist, aber – stimmt das auch bei allen anderen Dreiecken?
Wir können also nicht von einem Fall mit konkreten Werten darauf schließen, dass das immer bei allen Dreiecken so sein wird. Wir brauchen einen allgemeinen Beweis.
2. Der geometrische Beweis
In der 6. Klasse lernen viele von euch eine einfache geometrische Beziehungen kennen, die uns hier weiter helfen kann – die Dreiecksungleichung.
Die Dreiecksgleichung besagt, dass in einem Dreieck die Summe zweier Seiten immer länger ist, als die dritte Seite. Oder auch mathematisch ausgedrückt:
a + b > c
a + c > b
b + c > a
Dabei ist es völlig egal in welcher Art von Dreieck wir uns befinden. Wenn die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ist, haben wir kein Dreieck.
Ihr glaubt das nicht? Dann probiert es doch einfach mal schnell aus. Nimm einen Zirkel in die Hand und konstruiere ein Dreieck mit folgenden Maßen:
Seite c: 4 cm
Seite a: 2 cm
Seite b: 2 cm
Das Fazit:
Da die Dreiecksungleichung allgemein gültig ist, ist unser Trampelpfad über die Wiese immer der kürzeste Weg, zumindest, wenn wir ein Dreieck als Vorlage nehmen können.
