Beweis für den Satz des Pythagoras
Eine der wenigen Formeln, die vielen noch nach der Schulzeit im Gedächtnis bleibt, ist der Satz des Pythagoras:
a² + b² = c²
1. Was bedeutet diese Formel eigentlich?
Wann genau diese Beziehungen entdeckt worden ist, ist ungewiss. Sowohl in Babylon als auch im alten China fand der Satz seine Anwendung und wurde schriftlich festgehalten (etwa 1530 v. Chr.). Der Grieche Euklid schrieb schon im 3. Jahrhundert vor Christus einen ersten Beweis dazu in seinem berühmten Werk “Elemente”.
In der heutigen Zeit gibt es ganze Bücher nur mit den Beweisen zum Satz des Pythagoras. Einen davon haben wir hier vorbereitet.
2. Wie kannst du mit Hilfe der oberen Abbildung beweisen,
dass a² + b² = c² gilt?
Lösung
Stelle eine Gleichung auf, die in dieser Abbildung zu sehen ist. Danach formst du diese Gleichung um. Das Ziel ist der Satz des Pythagoras.
In rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat über der Hypotenuse (Seite c) genauso groß, wie die Summe der beiden Kathetenquadrate (Seite a und b).
Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt und die Katheten schließen den rechten Winkel ein.
Das große Quadrat hat folgende Seitenlänge: a +b
Wir stellen eine Gleichung für den Flächeninhalt des großen Quadrats auf. Das größere Quadrat ergibt dich aus der Summe des kleineren Quadrats mit der Seitenlänge c und den 4 gleichgroßen rechtwinkligen Dreiecken.
| (a + b)² | = | c² + 4 ⋅ ½ ⋅ a ⋅ b |
| a² + 2ab + b² | = | c² + 2ab |
| a² + b² | = | c² |
Online-Rechner für Satz des Pythagoras
Auf der Seite www.mathepower.com findet ihr sehr viele verschiedene Online-Rechner, u.a. einen für den Satz des Pythagoras.
Berechne damit die Hypotenuse, wenn die Seite a = 20cm und die Seite b = 21cm lang sind. Wie lang ist dann die Seite c?
